Vertaling
Stelling 8. Het idee van singuliere zaken ofte modi die niet bestaan, moet begrepen zijn in het onbeperkte idee van God zoals de formele essenties van de singuliere zaken ofte modi vervat zijn in de attributen Gods.
Bewijs: deze stelling is duidelijk op grond van de vorige, maar laat zich beter begrijpen op grond van het vorige scholium.
Corollarium: hieruit volgt dat zolang singuliere zaken niet bestaan tenzij zoals ze begrepen zijn in de attributen Gods, het objectieve zijn of het idee ervan niet bestaat, tenzij in zover het onbeperkt idee van God bestaat; en wanneer men zegt dat singuliere zaken niet alleen bestaan in zover ze begrepen zijn in de attributen Gods, maar tevens in zover men zegt dat ze een tijdsduur hebben, dan houden hun ideeën eveneens een bestaan in op grond waarvan men zegt dat ze een tijdsduur hebben.
Scholium: mocht men een voorbeeld verlangen om dit nog verder te verduidelijken, dan zal ik er echt niet een kunnen geven dat de zaak waarover ik het hier heb adequaat verklaart, aangezien het inderdaad iets unieks is. Toch zal ik proberen de zaak toe te lichten in de mate van het mogelijke, en wel zo: de natuur van een cirkel is van dien aard dat de rechthoeken gevormd op de segmenten van alle rechte lijnstukken die elkaar daarin snijden onderling even groot zijn. Om die reden bevat een cirkel een oneindig aantal onderling gelijke rechthoeken. Maar van geen enkele daarvan kan men zeggen dat die bestaat, tenzij in zover de cirkel bestaat; en men kan evenmin zeggen dat het idee van een van die rechthoeken bestaat, tenzij het begrepen is in het idee van de cirkel. Stel je nu voor dat van al die oneindig veel rechthoeken er slechts twee bestaan, namelijk D en E. Dan bestaan nu allicht tevens de ideeën daarvan, niet alleen voor zover ze enkel en alleen begrepen zijn in het idee van de cirkel, maar tevens voor zover ze het bestaan van die rechthoeken inhouden en dat maakt dat ze zich onderscheiden van de overige ideeën van de overige rechthoeken.
Zie tekst website.
Stelling 8. Het idee van singuliere zaken ofte modi die niet bestaan, moet begrepen zijn in het onbeperkte idee van God zoals de formele essenties van de singuliere zaken ofte modi vervat zijn in de attributen Gods.
Bewijs: deze stelling is duidelijk op grond van de vorige, maar laat zich beter begrijpen op grond van het vorige scholium.
Corollarium: hieruit volgt dat zolang singuliere zaken niet bestaan tenzij zoals ze begrepen zijn in de attributen Gods, het objectieve zijn of het idee ervan niet bestaat, tenzij in zover het onbeperkt idee van God bestaat; en wanneer men zegt dat singuliere zaken niet alleen bestaan in zover ze begrepen zijn in de attributen Gods, maar tevens in zover men zegt dat ze een tijdsduur hebben, dan houden hun ideeën eveneens een bestaan in op grond waarvan men zegt dat ze een tijdsduur hebben.
Scholium: mocht men een voorbeeld verlangen om dit nog verder te verduidelijken, dan zal ik er echt niet een kunnen geven dat de zaak waarover ik het hier heb adequaat verklaart, aangezien het inderdaad iets unieks is. Toch zal ik proberen de zaak toe te lichten in de mate van het mogelijke, en wel zo: de natuur van een cirkel is van dien aard dat de rechthoeken gevormd op de segmenten van alle rechte lijnstukken die elkaar daarin snijden onderling even groot zijn. Om die reden bevat een cirkel een oneindig aantal onderling gelijke rechthoeken. Maar van geen enkele daarvan kan men zeggen dat die bestaat, tenzij in zover de cirkel bestaat; en men kan evenmin zeggen dat het idee van een van die rechthoeken bestaat, tenzij het begrepen is in het idee van de cirkel. Stel je nu voor dat van al die oneindig veel rechthoeken er slechts twee bestaan, namelijk D en E. Dan bestaan nu allicht tevens de ideeën daarvan, niet alleen voor zover ze enkel en alleen begrepen zijn in het idee van de cirkel, maar tevens voor zover ze het bestaan van die rechthoeken inhouden en dat maakt dat ze zich onderscheiden van de overige ideeën van de overige rechthoeken.
Zie tekst website.
Latijnse tekst
PROPOSITIO VIII: Ideæ rerum singularium sive modorum non existentium ita debent comprehendi in Dei infinita idea ac rerum singularium sive modorum essentiæ formales in Dei attributis continentur.
DEMONSTRATIO: Hæc propositio patet ex præcedenti sed intelligitur clarius ex præcedenti scholio.
COROLLARIUM: Hinc sequitur quod quamdiu res singulares non existunt nisi quatenus in Dei attributis comprehenduntur, earum esse objectivum sive ideæ non existunt nisi quatenus infinita Dei idea existit et ubi res singulares dicuntur existere non tantum quatenus in Dei attributis comprehenduntur sed quatenus etiam durare dicuntur, earum ideæ etiam existentiam per quam durare dicuntur, involvent.
SCHOLIUM: Si quis ad uberiorem hujus rei explicationem exemplum desideret, nullum sane dare potero quod rem de qua hic loquor, utpote unicam adæquate explicet; conabor tamen rem ut fieri potest, illustrare. Nempe circulus talis est naturæ ut omnium linearum rectarum in eodem sese invicem secantium rectangula sub segmentis sint inter se æqualia; quare in circulo infinita inter se æqualia rectangula continentur : attamen nullum eorum potest dici existere nisi quatenus circulus existit nec etiam alicujus horum rectangulorum idea potest dici existere nisi quatenus in circuli idea comprehenditur. Concipiantur jam ex infinitis illis duo tantum nempe E et D existere. Sane eorum etiam ideæ jam non tantum existunt quatenus solummodo in circuli idea comprehenduntur sed etiam quatenus illorum rectangulorum existentiam involvunt, quo fit ut a reliquis reliquorum rectangulorum ideis distinguantur.
PROPOSITIO VIII: Ideæ rerum singularium sive modorum non existentium ita debent comprehendi in Dei infinita idea ac rerum singularium sive modorum essentiæ formales in Dei attributis continentur.
DEMONSTRATIO: Hæc propositio patet ex præcedenti sed intelligitur clarius ex præcedenti scholio.
COROLLARIUM: Hinc sequitur quod quamdiu res singulares non existunt nisi quatenus in Dei attributis comprehenduntur, earum esse objectivum sive ideæ non existunt nisi quatenus infinita Dei idea existit et ubi res singulares dicuntur existere non tantum quatenus in Dei attributis comprehenduntur sed quatenus etiam durare dicuntur, earum ideæ etiam existentiam per quam durare dicuntur, involvent.
SCHOLIUM: Si quis ad uberiorem hujus rei explicationem exemplum desideret, nullum sane dare potero quod rem de qua hic loquor, utpote unicam adæquate explicet; conabor tamen rem ut fieri potest, illustrare. Nempe circulus talis est naturæ ut omnium linearum rectarum in eodem sese invicem secantium rectangula sub segmentis sint inter se æqualia; quare in circulo infinita inter se æqualia rectangula continentur : attamen nullum eorum potest dici existere nisi quatenus circulus existit nec etiam alicujus horum rectangulorum idea potest dici existere nisi quatenus in circuli idea comprehenditur. Concipiantur jam ex infinitis illis duo tantum nempe E et D existere. Sane eorum etiam ideæ jam non tantum existunt quatenus solummodo in circuli idea comprehenduntur sed etiam quatenus illorum rectangulorum existentiam involvunt, quo fit ut a reliquis reliquorum rectangulorum ideis distinguantur.
Toelichting
Van alle zaken zijn er ideeën. Er is dus een vaste band tussen al wat bestaat en de ideeën daarvan. De attributen drukken de essentie van de substantie uit en dus tevens de essentie van al de bestaande modi van de substantie. Maar wat als iets wel kan bestaan, maar om een of andere reden toch niet bestaat? Er moeten immers talloze zaken zijn die perfect denkbaar zijn, maar die niet formeel bestaan, waarvan het concrete bestaan niet gerealiseerd is. Uit het idee dat de substantie van zichzelf heeft, komen immers ontelbare ideeën voort op oneindig veel manieren en niet alle ideeën hebben noodzakelijkerwijs naast de essentie die ze hebben als een van de ideeën van de substantie, dus een formeel bestaan als idee, ook een objectief bestaan als idee van een ideatum. Dat betekent dat er ook ideeën zijn van niet-bestaande modi, van niet concreet bestaande zaken. Die ideeën zijn op dezelfde manier vervat in het onbegrensde idee dat de substantie van zichzelf heeft als de formele essentie van concrete zaken vervat ligt in de attributen, zegt Spinoza. Als we weten hoe de formele essentie van singuliere zaken of modi vervat ligt in de attributen van de substantie, kunnen we daaruit begrijpen hoe een idee van een niet-bestaande singuliere zaak begrepen is in het oneindige idee dat de substantie van zichzelf heeft. Welnu, per definitie is een modus een toestand van de substantie die in iets anders is en van daaruit begrepen wordt of: de formele essentie van een modus ligt vervat in het attribuut waartoe de modus behoort. Als er geen bestaande modus of singuliere zaak is, bestaat er evenmin een idee daarvan in het attribuut van het denken; als er geen oorzaken zijn die leiden tot het bestaan van een zaak, zijn er evenmin oorzaken die leiden naar het idee daarvan. Zoals de formele essentie van singuliere zaken als een idee of modus van het denken (2p5) begrepen is in een attribuut van de substantie, namelijk het denken, is het idee van elke singuliere zaak, dat niet veroorzaakt is door zijn ideatum, maar door de substantie zelf als res cogitans, begrepen in het idee dat de substantie van zichzelf heeft, ook als die singuliere zaak of die modus niet bestaat.
Spinoza maakt hier een duidelijk onderscheid tussen ideeën van singuliere zaken die bestaan, die dus behalve hun essentie ook een existentie hebben, met andere woorden een tijdsduur en die ook een andere zaak als naaste oorzaak hebben, en de ideeën van zaken die niet op die manier bestaan. Als een zaak enkel bestaat in essentie, zonder existentie, is er geen objectief zijn van die zaak, geen inhoud van het zijn, geen idee dat een existentie heeft. En toch is er nog steeds een idee in essentie, namelijk in de attributen van de substantie en met name in het attribuut van het denken of het idee dat de substantie van zichzelf heeft, dat onbegrensd is en dus alle ideeën omvat, ook die van niet-bestaande zaken of modi.
De onmiddellijke consequenties van dat onderscheid zijn niet meteen duidelijk, tenzij misschien toch dit: er zijn ideeën die een existentie hebben en andere die dat niet hebben, maar deze laatste hebben wel nog steeds een essentie, zij bestaan in de substantie in zover die een idee heeft van zichzelf, in zover die res cogitans is. Er zijn dus nog andere ideeën in de substantie naast de concrete ideeën die mensen hebben. Als we dan zeggen dat ‘God’ die ideeën heeft, dat hij denkt, dan kunnen we ons daarbij nog iets voorstellen, al is er altijd het gevaar van een grove vermenselijking van God. Maar wat moeten we ons voorstellen bij een substantie die denkt? En toch is dat wat Spinoza beweert. Alle gedachten, alle denken is noodzakelijkerwijs in de substantie, omdat alles nu eenmaal in de substantie is en de substantie alles is dat is, op welke manier dan ook. Daarover echter later ongetwijfeld meer.
In het scholium geeft Spinoza ter illustratie een voorbeeld: in een cirkel kan men oneindig veel elkaar snijdende koorden trekken en voor al die lijnstukken geldt dat de rechthoeken die erop geconstrueerd worden binnen de cirkelomtrek dezelfde oppervlakte hebben. Zolang er echter geen concrete cirkel is en daadwerkelijk getrokken koorden, zijn er ook geen concrete rechthoeken. Pas als er een cirkel is en twee elkaar snijdende koorden, bestaan de rechthoeken ook daadwerkelijk.
In dat scholium van de achtste stelling van het tweede deel van de Ethica gebruikt Spinoza een geometrisch voorbeeld, zoals hij wel meer doet (1p15s, 2ax2, Brief 12, naast wiskundige voorbeelden, zoals in 2p40s2 en par., Brief 56). Dat is inderdaad niet verwonderlijk in een werk dat in zijn titel aangeeft dat de bewijsvoering op geometrische wijze gebeurt. Spinoza was duidelijk erg onder de indruk van de onweerlegbare bewijskracht van mathematische en geometrische stellingen.
Spinoza vermeldt het voorbeeld in 2p8c echter quasi terloops, en ook de meeste commentatoren besteden er nauwelijks aandacht aan. Wanneer men echter ten volle de bewijs- of illustratieve kracht van dit voorbeeld wil inzien, is het noodzakelijk dat men het ook begrijpt.
Spinoza begint met een ontwijkend manoever: ‘Wanneer iemand een voorbeeld zou wensen ter verdere verduidelijking hiervan [namelijk van de stelling zelf, haar bewijs en het bijhorende corollarium], dan kan ik er echt niet een geven dat de zaak waarover het hier gaat, en die uniek is, adequaat verklaart. Ik zal echter toch proberen dat zo goed als mogelijk te illustreren.’
We laten hier echter de grond van de zaak buiten beschouwing, en richten ons uitsluitend op het begrijpen van het geometrisch voorbeeld.
‘Welnu, de cirkel is van dien aard, dat rechthoeken van alle rechte lijnstukken die elkaar daarbinnen snijden, onder hun segmenten onderling gelijk zijn.’
Spinoza gaat ervan uit dat iedereen weet waarover het gaat. Dat lijkt echter een gewaagde veronderstelling, een uitdagende retorische wending die Spinoza niet vreemd is. Hij weet (cf. infra) natuurlijk dat de stelling juist is, weet ook dat niet iedereen dat weet of meteen inziet, maar doet alsof zijn neus bloedt en legt zo de verantwoordelijkheid bij de (overijverige) lezer, die na enig nadenken en zoekwerk uiteindelijk zal moeten toegeven dat de stelling inderdaad juist en bewezen is.
Een eerste bevreemdend element is ‘onder hun segmenten’, dat hier letterlijk vertaald is: sub segmentis. Een cirkelsegment is volgens Van Dale een ‘deel van een cirkel ingesloten door een koorde en een cirkelboog’. Wat betekent dan dat ‘sub segmentis’? De nietsvermoedende lezer zal vruchteloos zoeken naar een oplossing op basis van deze definitie. Het gaat in het voorbeeld inderdaad niet over cirkelsegmenten, maar om de segmenten of delen van de beide rechte lijnstukken die elkaar snijden (sese invicem secantium). Secare betekent snijden, en datgene wat gesneden wordt, valt uiteen in segmenten, een woord met dezelfde stam als secare. Van Dale geeft zes omschrijvingen van ‘segment’, maar enkel de meest algemene is hier van toepassing: een deel van een geheel. In het Frans daarentegen is een segment een deel van een rechte begrensd door twee punten. Het gaat dus om twee lijnstukken getrokken binnen een cirkel en die elkaar snijden. Op de afbeelding die Spinoza geeft, snijden die twee lijnstukken elkaar in een rechte hoek, wat ons zou kunnen verleiden om te denken dat dit relevant is, maar in de tekst wordt niet gezegd dat dit een voorwaarde is, er is niets vermeld over de hoek waarin ze elkaar snijden, noch over de plaats van het punt waarop ze elkaar snijden. Wij mogen dus aannemen dat de stelling geldt voor alle gevallen.
Spinoza gaat verder: ‘Er zijn dus in een cirkel oneindig veel rechthoeken die onderling aan elkaar gelijk zijn; nochtans kunnen we van geen enkele daarvan zeggen dat hij bestaat, tenzij voor zoverre de cirkel bestaat; en men evenmin kan zeggen dat het idee van een van die rechthoeken bestaat, tenzij voor zoverre het [idee] vervat ligt in het idee van de cirkel.
Wat zijn dan al die rechthoeken die aan elkaar gelijk zijn? Er zijn immers helemaal geen rechthoeken te merken in de afbeelding, en het is voorlopig niet duidelijk hoe die zouden kunnen gevormd worden. Maar Spinoza gaat onverstoord verder en zegt: ‘Stel je nu voor dat van dat oneindige aantal [mogelijke rechthoeken] er slechts deze twee bestaan, namelijk E en D.’ Op de afbeelding zien we enkel twee lijnstukken, aangeduid met die letters. Quid?
Nu we weten dat sub segmentis slaat op de twee delen waarin elk van de twee lijnstukken, of de twee koorden, elkaar snijden, komen we tot de vaststelling dat het gaat om de rechthoeken die als basis en hoogte de afmetingen hebben van de delen waarin elk lijnstuk verdeeld is. Lijnstuk D bestaat dus uit twee delen, met als deelpunt de plaats waar lijnstuk E lijnstuk D snijdt. En lijnstuk E bestaat uit twee delen, met als deelpunt het snijpunt met D. De stelling is nu, dat de rechthoek gevormd met de onderdelen van D gelijk is aan de rechthoek gevormd met de onderdelen van E.
Spinoza heeft ons een beetje op het verkeerde been gezet; eerst door zijn ‘sub segmentis’, en vervolgens door te spreken over ontelbare rechthoeken die ‘in’ een cirkel kunnen gevormd worden. Wat dat laatste betreft, gaat het in werkelijkheid om rechthoeken die gevormd worden met de twee delen van een koorde van een cirkel die een andere koorde snijdt.
Spinoza zegt emfatisch dat het tot de aard (natura) van de cirkel behoort dat zulks het geval is, en daagt de lezer daarmee als het ware tersluiks een beetje uit: hij levert geen bewijs van zijn stelling, ze is immers vanzelfsprekend. Als je niet inziet dat het inderdaad zo is, ben je een oen; als je hem echter op zijn woord gelooft, ben je goedgelovig, want zo evident is dat nu ook weer niet.
Spinoza heeft dat voorbeeld niet zelf bedacht of zomaar willekeurig gekozen. Het gaat immers om stelling 35 uit het derde deel van Euclides’ Stoicheia of Elementa, die Spinoza hier letterlijk citeert. Men mag aannemen dat de gemiddelde 17de-eeuwse lezer net zomin als de hedendaagse spontaan die identificatie zal maken. En beide lezers zullen ongetwijfeld in dezelfde mate onbekwaam zijn om die stelling ook nog eens te bewijzen.
Wie daar zin in heeft, kan de bewijsvoering nalezen bij Euclides zelf, hier is een link naar een Engelse vertaling: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII35.html. Dat bewijs maakt gebruik van verscheidene andere stellingen, die op hun beurt verre van evident zijn. In haar eenvoudigste vorm, die Spinoza hier echter niet afgebeeld heeft, is de stelling natuurlijk wel evident: indien de beide koorden door het middelpunt gaan en dus elkaar daar snijden, zijn de lijnstukken alle vier even lang, en zijn de vierkanten die je ermee vormt eveneens even groot. Alle rechthoeken die je vormt wanneer de koorden niet allebei door het middelpunt gaan, vertonen dezelfde eigenschap, maar het bewijs daarvan is behoorlijk omslachtig.
Spinoza besluit het scholium als volgt: ‘Het is voorwaar zo dat ook de ideeën van [elk van die twee rechthoeken E en D] niet alleen bestaan in zoverre ze uitsluitend vervat liggen in het idee van de cirkel, maar tevens in zoverre [deze ideeën] het bestaan inhouden van die rechthoeken, en zo komt het dat ze zich onderscheiden van de ideeën van de overige rechthoeken.’
Met deze toelichting zal de lezer dan naar wij verhopen met meer succes zelf stelling E2p8, haar bewijsvoering en corollarium te lijf kunnen gaan.
Van alle zaken zijn er ideeën. Er is dus een vaste band tussen al wat bestaat en de ideeën daarvan. De attributen drukken de essentie van de substantie uit en dus tevens de essentie van al de bestaande modi van de substantie. Maar wat als iets wel kan bestaan, maar om een of andere reden toch niet bestaat? Er moeten immers talloze zaken zijn die perfect denkbaar zijn, maar die niet formeel bestaan, waarvan het concrete bestaan niet gerealiseerd is. Uit het idee dat de substantie van zichzelf heeft, komen immers ontelbare ideeën voort op oneindig veel manieren en niet alle ideeën hebben noodzakelijkerwijs naast de essentie die ze hebben als een van de ideeën van de substantie, dus een formeel bestaan als idee, ook een objectief bestaan als idee van een ideatum. Dat betekent dat er ook ideeën zijn van niet-bestaande modi, van niet concreet bestaande zaken. Die ideeën zijn op dezelfde manier vervat in het onbegrensde idee dat de substantie van zichzelf heeft als de formele essentie van concrete zaken vervat ligt in de attributen, zegt Spinoza. Als we weten hoe de formele essentie van singuliere zaken of modi vervat ligt in de attributen van de substantie, kunnen we daaruit begrijpen hoe een idee van een niet-bestaande singuliere zaak begrepen is in het oneindige idee dat de substantie van zichzelf heeft. Welnu, per definitie is een modus een toestand van de substantie die in iets anders is en van daaruit begrepen wordt of: de formele essentie van een modus ligt vervat in het attribuut waartoe de modus behoort. Als er geen bestaande modus of singuliere zaak is, bestaat er evenmin een idee daarvan in het attribuut van het denken; als er geen oorzaken zijn die leiden tot het bestaan van een zaak, zijn er evenmin oorzaken die leiden naar het idee daarvan. Zoals de formele essentie van singuliere zaken als een idee of modus van het denken (2p5) begrepen is in een attribuut van de substantie, namelijk het denken, is het idee van elke singuliere zaak, dat niet veroorzaakt is door zijn ideatum, maar door de substantie zelf als res cogitans, begrepen in het idee dat de substantie van zichzelf heeft, ook als die singuliere zaak of die modus niet bestaat.
Spinoza maakt hier een duidelijk onderscheid tussen ideeën van singuliere zaken die bestaan, die dus behalve hun essentie ook een existentie hebben, met andere woorden een tijdsduur en die ook een andere zaak als naaste oorzaak hebben, en de ideeën van zaken die niet op die manier bestaan. Als een zaak enkel bestaat in essentie, zonder existentie, is er geen objectief zijn van die zaak, geen inhoud van het zijn, geen idee dat een existentie heeft. En toch is er nog steeds een idee in essentie, namelijk in de attributen van de substantie en met name in het attribuut van het denken of het idee dat de substantie van zichzelf heeft, dat onbegrensd is en dus alle ideeën omvat, ook die van niet-bestaande zaken of modi.
De onmiddellijke consequenties van dat onderscheid zijn niet meteen duidelijk, tenzij misschien toch dit: er zijn ideeën die een existentie hebben en andere die dat niet hebben, maar deze laatste hebben wel nog steeds een essentie, zij bestaan in de substantie in zover die een idee heeft van zichzelf, in zover die res cogitans is. Er zijn dus nog andere ideeën in de substantie naast de concrete ideeën die mensen hebben. Als we dan zeggen dat ‘God’ die ideeën heeft, dat hij denkt, dan kunnen we ons daarbij nog iets voorstellen, al is er altijd het gevaar van een grove vermenselijking van God. Maar wat moeten we ons voorstellen bij een substantie die denkt? En toch is dat wat Spinoza beweert. Alle gedachten, alle denken is noodzakelijkerwijs in de substantie, omdat alles nu eenmaal in de substantie is en de substantie alles is dat is, op welke manier dan ook. Daarover echter later ongetwijfeld meer.
In het scholium geeft Spinoza ter illustratie een voorbeeld: in een cirkel kan men oneindig veel elkaar snijdende koorden trekken en voor al die lijnstukken geldt dat de rechthoeken die erop geconstrueerd worden binnen de cirkelomtrek dezelfde oppervlakte hebben. Zolang er echter geen concrete cirkel is en daadwerkelijk getrokken koorden, zijn er ook geen concrete rechthoeken. Pas als er een cirkel is en twee elkaar snijdende koorden, bestaan de rechthoeken ook daadwerkelijk.
In dat scholium van de achtste stelling van het tweede deel van de Ethica gebruikt Spinoza een geometrisch voorbeeld, zoals hij wel meer doet (1p15s, 2ax2, Brief 12, naast wiskundige voorbeelden, zoals in 2p40s2 en par., Brief 56). Dat is inderdaad niet verwonderlijk in een werk dat in zijn titel aangeeft dat de bewijsvoering op geometrische wijze gebeurt. Spinoza was duidelijk erg onder de indruk van de onweerlegbare bewijskracht van mathematische en geometrische stellingen.
Spinoza vermeldt het voorbeeld in 2p8c echter quasi terloops, en ook de meeste commentatoren besteden er nauwelijks aandacht aan. Wanneer men echter ten volle de bewijs- of illustratieve kracht van dit voorbeeld wil inzien, is het noodzakelijk dat men het ook begrijpt.
Spinoza begint met een ontwijkend manoever: ‘Wanneer iemand een voorbeeld zou wensen ter verdere verduidelijking hiervan [namelijk van de stelling zelf, haar bewijs en het bijhorende corollarium], dan kan ik er echt niet een geven dat de zaak waarover het hier gaat, en die uniek is, adequaat verklaart. Ik zal echter toch proberen dat zo goed als mogelijk te illustreren.’
We laten hier echter de grond van de zaak buiten beschouwing, en richten ons uitsluitend op het begrijpen van het geometrisch voorbeeld.
‘Welnu, de cirkel is van dien aard, dat rechthoeken van alle rechte lijnstukken die elkaar daarbinnen snijden, onder hun segmenten onderling gelijk zijn.’
Spinoza gaat ervan uit dat iedereen weet waarover het gaat. Dat lijkt echter een gewaagde veronderstelling, een uitdagende retorische wending die Spinoza niet vreemd is. Hij weet (cf. infra) natuurlijk dat de stelling juist is, weet ook dat niet iedereen dat weet of meteen inziet, maar doet alsof zijn neus bloedt en legt zo de verantwoordelijkheid bij de (overijverige) lezer, die na enig nadenken en zoekwerk uiteindelijk zal moeten toegeven dat de stelling inderdaad juist en bewezen is.
Een eerste bevreemdend element is ‘onder hun segmenten’, dat hier letterlijk vertaald is: sub segmentis. Een cirkelsegment is volgens Van Dale een ‘deel van een cirkel ingesloten door een koorde en een cirkelboog’. Wat betekent dan dat ‘sub segmentis’? De nietsvermoedende lezer zal vruchteloos zoeken naar een oplossing op basis van deze definitie. Het gaat in het voorbeeld inderdaad niet over cirkelsegmenten, maar om de segmenten of delen van de beide rechte lijnstukken die elkaar snijden (sese invicem secantium). Secare betekent snijden, en datgene wat gesneden wordt, valt uiteen in segmenten, een woord met dezelfde stam als secare. Van Dale geeft zes omschrijvingen van ‘segment’, maar enkel de meest algemene is hier van toepassing: een deel van een geheel. In het Frans daarentegen is een segment een deel van een rechte begrensd door twee punten. Het gaat dus om twee lijnstukken getrokken binnen een cirkel en die elkaar snijden. Op de afbeelding die Spinoza geeft, snijden die twee lijnstukken elkaar in een rechte hoek, wat ons zou kunnen verleiden om te denken dat dit relevant is, maar in de tekst wordt niet gezegd dat dit een voorwaarde is, er is niets vermeld over de hoek waarin ze elkaar snijden, noch over de plaats van het punt waarop ze elkaar snijden. Wij mogen dus aannemen dat de stelling geldt voor alle gevallen.
Spinoza gaat verder: ‘Er zijn dus in een cirkel oneindig veel rechthoeken die onderling aan elkaar gelijk zijn; nochtans kunnen we van geen enkele daarvan zeggen dat hij bestaat, tenzij voor zoverre de cirkel bestaat; en men evenmin kan zeggen dat het idee van een van die rechthoeken bestaat, tenzij voor zoverre het [idee] vervat ligt in het idee van de cirkel.
Wat zijn dan al die rechthoeken die aan elkaar gelijk zijn? Er zijn immers helemaal geen rechthoeken te merken in de afbeelding, en het is voorlopig niet duidelijk hoe die zouden kunnen gevormd worden. Maar Spinoza gaat onverstoord verder en zegt: ‘Stel je nu voor dat van dat oneindige aantal [mogelijke rechthoeken] er slechts deze twee bestaan, namelijk E en D.’ Op de afbeelding zien we enkel twee lijnstukken, aangeduid met die letters. Quid?
Nu we weten dat sub segmentis slaat op de twee delen waarin elk van de twee lijnstukken, of de twee koorden, elkaar snijden, komen we tot de vaststelling dat het gaat om de rechthoeken die als basis en hoogte de afmetingen hebben van de delen waarin elk lijnstuk verdeeld is. Lijnstuk D bestaat dus uit twee delen, met als deelpunt de plaats waar lijnstuk E lijnstuk D snijdt. En lijnstuk E bestaat uit twee delen, met als deelpunt het snijpunt met D. De stelling is nu, dat de rechthoek gevormd met de onderdelen van D gelijk is aan de rechthoek gevormd met de onderdelen van E.
Spinoza heeft ons een beetje op het verkeerde been gezet; eerst door zijn ‘sub segmentis’, en vervolgens door te spreken over ontelbare rechthoeken die ‘in’ een cirkel kunnen gevormd worden. Wat dat laatste betreft, gaat het in werkelijkheid om rechthoeken die gevormd worden met de twee delen van een koorde van een cirkel die een andere koorde snijdt.
Spinoza zegt emfatisch dat het tot de aard (natura) van de cirkel behoort dat zulks het geval is, en daagt de lezer daarmee als het ware tersluiks een beetje uit: hij levert geen bewijs van zijn stelling, ze is immers vanzelfsprekend. Als je niet inziet dat het inderdaad zo is, ben je een oen; als je hem echter op zijn woord gelooft, ben je goedgelovig, want zo evident is dat nu ook weer niet.
Spinoza heeft dat voorbeeld niet zelf bedacht of zomaar willekeurig gekozen. Het gaat immers om stelling 35 uit het derde deel van Euclides’ Stoicheia of Elementa, die Spinoza hier letterlijk citeert. Men mag aannemen dat de gemiddelde 17de-eeuwse lezer net zomin als de hedendaagse spontaan die identificatie zal maken. En beide lezers zullen ongetwijfeld in dezelfde mate onbekwaam zijn om die stelling ook nog eens te bewijzen.
Wie daar zin in heeft, kan de bewijsvoering nalezen bij Euclides zelf, hier is een link naar een Engelse vertaling: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII35.html. Dat bewijs maakt gebruik van verscheidene andere stellingen, die op hun beurt verre van evident zijn. In haar eenvoudigste vorm, die Spinoza hier echter niet afgebeeld heeft, is de stelling natuurlijk wel evident: indien de beide koorden door het middelpunt gaan en dus elkaar daar snijden, zijn de lijnstukken alle vier even lang, en zijn de vierkanten die je ermee vormt eveneens even groot. Alle rechthoeken die je vormt wanneer de koorden niet allebei door het middelpunt gaan, vertonen dezelfde eigenschap, maar het bewijs daarvan is behoorlijk omslachtig.
Spinoza besluit het scholium als volgt: ‘Het is voorwaar zo dat ook de ideeën van [elk van die twee rechthoeken E en D] niet alleen bestaan in zoverre ze uitsluitend vervat liggen in het idee van de cirkel, maar tevens in zoverre [deze ideeën] het bestaan inhouden van die rechthoeken, en zo komt het dat ze zich onderscheiden van de ideeën van de overige rechthoeken.’
Met deze toelichting zal de lezer dan naar wij verhopen met meer succes zelf stelling E2p8, haar bewijsvoering en corollarium te lijf kunnen gaan.
